日々の流転

λ. 大分二日目

憂鬱になったり、前向きになったり、気分が不安定な自分が嫌になる。

最寄のジャスコで必要なものを色々買ってきた。 帰りは暗くなっていたのだが、街灯がなく怖かった。 帰ってきてから、買ったヨーグルトを食べよう思ったのだが、そこでスプーンを買ってきていないことに気付く。ヨーグルトはああずけ。

Air-Edgeの64Kbpsは、テキスト情報だけをやり取りするだけならともかく、メディア系のデータを扱おうとすると辛い。たった6MBのポッドキャスト(読売ニュースポッドキャスト)をダウンロードするのに10分以上かかる。あと、Google Maps なんかも結構重い。ただ、SFC-GCのビデオはそれなりに観れた!

Ruby会議のチケット追加販売の情報が出てるな。 5/12は夜勤なので、朝ならチケットを買いに行ける。 今度こそ忘れないようにしないと。

λ. Chapter 9 の練習問題1

半順序集合PのAlexandrov位相と、Idl(P)のスコット位相が、フレームとして同型であることを示す問題。

準備

Idl(P)のスコット開集合aが与えられたとする。 各 x∈a は、Idl(P) の代数性より x = ⨆^↑{↓y | y∈P, ↓y⊑x } と表せる。 スコット開集合はdirected-joinによって到達不可能なので、ある ↓y∈{↓y | y∈P, ↓y⊑x } がaに含まれ、x∈↑↓y となる。 よって、{↑↓y | y∈P} はIdl(P)のスコット位相の開基。

証明

• Idl(P)のスコット開集合aに対して、Pのupper-closedな集合 φ(a) = {x∈P | ↓x∈a} を対応させ、
• Pのupper-closedな集合bに対して、Idl(P)のスコット位相 ψ(b) = ⋃{↑↓x | x∈b} を対応させる。

この対応がフレーム準同型になっていることは明らか。

同型になっていることを示す。

• φ(ψ(b)) = {x∈P | ↓x∈⋃{↑↓x | x∈b}} = {x∈P | ∃y∈b. y⊑x} = b
• ψ(φ(a)) = ⋃{↑↓x | x∈{x∈P | ↓x∈a}} = ⋃{↑↓x | x∈P, ↓x∈a} = a
  ここで開基であることを利用している。

解釈

algebraic dcpo 上のスコット開集合は、それに含まれるコンパクトな要素が決まれば決まるということ。