日々の流転

λ. "Scott is not always sober” by Peter T. Johnstone

20050310#p04 で知ってからずっと読みたかったものをようやく読んだ 。 私の持っている位相の知識が偏っていることもあり、理解するのに結構苦労した。 何しろ、私の位相の知識は Topology via Logic (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science)(Steven Vickers) と 位相と論理 (日評数学選書)(田中 俊一) で得た知識なので……

(以下、書きかけメモ)

Topology via logic から予備知識

Sober空間の specialization ordering が directed complete であることと、開集合が“inaccessible by directed joins”であることにについては、Topology via Logic では p.94 Theorem 7.2.3 で示されている。 また、Sober空間の開集合は“inaccessible by directed joins”なので、specialization ordering の上のスコット位相の開集合にもなっている。

irreducible の定義は、Topology via Logic では p.66 。 irreducible な閉集合は素な開集合の補集合。

X上のSoberな位相Ωが存在しないことを示す部分

aの反例の最後のところので、何故そのような位相Ωが存在しないか最初わからなかったが、しばらく考えて納得した。

XはSober空間の irreducible な閉集合なので、対応する generic point x が存在して、任意の開集合Uについて x∈U ⇔ U∩X≠∅ 。ということは、空でない開集合は x を含む。そのような x は存在すれば最大元だけど、X には最大元はないので、そんな位相は存在し得ない。

⋃{ cl{y} | y∈F, y≰x } は 閉集合

一応示してみたが、イマイチ。

M := F∩(N×{∞}) とおく。 properな閉集合Fの補集合であるところの空でない開集合Uは、あるnについて {(m', ∞) | m'≧n} を含むので、Mの要素は {(m', ∞) | m' < n} に含まれ有限個。

Fの極大元 x について L=⋃{ cl{y} | y∈F, y≰x } ⊆ F を考え、これは閉集合になっていることを示す。

Lがlower-closedであることは明らか。

Lがdirected-join について閉じていること。 与えられた有向部分集合が最大元を含む場合には明らか。 最大元を含まない有向部分集合 D⊆L は {m}×(N ∪ {∞}) ⊆ F に含まれる無限集合の場合。 このDの上限 (m, ∞) は F に含まれる(Fはスコット閉集合でdirected-joinに閉じているので)。 ここで (m, ∞) = x とすると、D が L に含まれることに矛盾してしまう(Mが有限個なのでDの有限個の要素しかしかカバーできない)ので、(m, ∞) ≠ x 。(m, ∞) ≰ x なので、(m, ∞) ∈ cl{(m, ∞)} ⊆ L 。

irreducible な F が generic point を持つ

これも一応示せはしたけど、イマイチ。

M≠∅ の場合、F ⊆ ⋃{cl{m} | m∈M} ∪ ⋂{⋃{cl{y} | y∈F, ¬(y≦m)} | m∈M} で、Mは有限集合なのとFがirreducibleであることから、(∃m∈M. F ⊆ cl{m}) ∨ (F ⊆ ⋂{⋃{cl{y} | y∈F, ¬(y≦m)} | m∈M}) 。

• ∃m∈M. F⊆cl{m} の時、Fは{m}を含む閉集合なので F⊇cl{m} で F=cl{m} 。 m≠m' ならば cl{m}≠cl{m'} なのでmの一意性は明らか。
• F ⊆ ⋂{⋃{cl{y} | y∈F, y≰m} | m∈M} の時 ∀m∈M. F ⊆ ⋃{cl{y} | y∈F, y≰m} で M≠∅なので ∃m∈M⊆F. ∃y∈F. m∈cl{y} ∧ m≠y で、これは矛盾

M=∅ の場合: F_n := F∩({n}×N) とおくと、空でない F_n は最大元を持つ閉集合。 F_n = F for some n∈N である場合 F = cl{∨F_n} 。 そうでない場合、F_n≠∅ と G := ⋃{F_n' | n'≠n} ≠ ∅ は閉集合で、FをF_nとGに分割できるので、irreducible であることに矛盾。

λ. パイレーツオブカリビアン

テレビでやっていたので観た。 アンデッドがガシガシ動くのが楽しい。