2006-10-22 [長年日記]
λ. monoidal closed functor?
MCC(Monoidal Closed Category) M, M´と Monoidal Functor (F,m): M→M´ が与えられているとする。
自然変換nX,Y: F[X,Y]→[FX,FY]´ を以下のように定義する。
![\xymatrix@+20pt{ F[X,Y] \ar[rrr]^{\mbox{curry}'(1_{[F[X,Y]\otimes' FX]})} \ar@{.>}[d]_{n_{X,Y}} &&& [FX, F[X,Y]\otimes'FX]' \ar[d]^{[FX,m_{[X,Y],X}]'} \\ [FX,FY]' &&& [FX,F([X,Y]\otimes X)]' \ar[lll]^{[FX, Fe]'} }](tex/978259f5759f79b4ee45185a20a422e8.png "\xymatrix@+20pt{ F[X,Y] \ar[rrr]^{\mbox{curry}'(1_{[F[X,Y]\otimes' FX]})} \ar@{.>}[d]_{n_{X,Y}} &&& [FX, F[X,Y]\otimes'FX]' \ar[d]^{[FX,m_{[X,Y],X}]'} \\ [FX,FY]' &&& [FX,F([X,Y]\otimes X)]' \ar[lll]^{[FX, Fe]'} }")
nX,Y = (([FX, Fe ∘ m[X,Y],X]´ ∘ curry´(F[X,Y] ⊗´ FX)) = curry´(Fe ∘ m[X,Y],X)
このとき以下が成り立つ。
- e´∘(nX,Y ⊗´ FX) = Fe ∘ m[X,Y],X
![\xymatrix{ [FX,FY]' \otimes' FX \ar[rr]^{e'} && FY \ar@{=}[dd] \\ F[X,Y] \otimes' FX \ar[u]^{n_{X,Y} \otimes' FX} \ar[d]_{m_{[X,Y],X}} \\ F([X,Y]\otimes X) \ar[rr]_{F(e)} && FY }](tex/e5cf135691cf32c4cfcbf73cc180eb1f.png "\xymatrix{ [FX,FY]' \otimes' FX \ar[rr]^{e'} && FY \ar@{=}[dd] \\ F[X,Y] \otimes' FX \ar[u]^{n_{X,Y} \otimes' FX} \ar[d]_{m_{[X,Y],X}} \\ F([X,Y]\otimes X) \ar[rr]_{F(e)} && FY }")
e´∘ (nX,Y ⊗´ FX)
= e´∘ (curry´(Fe ∘ m[X,Y],X) ⊗´ FX)
= Fe´ ∘ m[X,Y],X - ∀f: Z⊗X→Y. nX,Y ∘ F(curry(f)) = curry´(Ff ∘ mZ,X)
![\xymatrix{ M(Z\otimes X, Y) \ar[d]|{F(-)} \ar[rr]^{\mbox{curry}} && M(Z, [X,Y]) \ar[d]|{F(-)} \\ M'(F(Z\otimes X), FY) \ar[d]|{M'(m_{Z,X},FY)} && M'(FZ, F[X,Y]) \ar[d]|{M'(FZ, n_{X,Y})} \\ M'(FZ\otimes' FX, FY) \ar[rr]_{\mbox{curry}'} && M'(FZ, [FX,FY]') }](tex/8fde55f243182502c696ec1e28997186.png "\xymatrix{ M(Z\otimes X, Y) \ar[d]|{F(-)} \ar[rr]^{\mbox{curry}} && M(Z, [X,Y]) \ar[d]|{F(-)} \\ M'(F(Z\otimes X), FY) \ar[d]|{M'(m_{Z,X},FY)} && M'(FZ, F[X,Y]) \ar[d]|{M'(FZ, n_{X,Y})} \\ M'(FZ\otimes' FX, FY) \ar[rr]_{\mbox{curry}'} && M'(FZ, [FX,FY]') }")
nX,Y ∘ F(curry(f))
= curry´(Fe ∘ m[X,Y],X) ∘ F(curry(f))
= curry´(e´ ∘ (curry´(Fe ∘ m[X,Y],X) ∘ F(curry(f)))⊗´ FX)
= curry´(e´ ∘ (curry´(Fe ∘ m[X,Y],X)⊗´ FX) ∘ (F(curry(f))⊗´ FX ))
= curry´(Fe ∘ m[X,Y],X ∘ F(curry(f))⊗´ FX )
= curry´(Fe ∘ F(curry(f)⊗X) ∘ mZ,X)
= curry´(F(e ∘ curry(f)⊗X) ∘ mZ,X)
= curry´(Ff ∘ mZ,X)
どうもお久しぶりです。竹内です。<br>遅れましたが、内定おめでとうございます。<br>中間発表もうすぐですね。がんばってください。<br>まずは取り急ぎお祝いまで。
いやー、お久しぶりです。<br><br>> 遅れましたが、内定おめでとうございます。<br>どうもありがとうございます。<br>何とか無事に内定をもらうことが出来ました(^^;<br><br>> 中間発表もうすぐですね。がんばってください。 <br>そうなんですよー。緊張してます。<br>今日も発表練習をしていたのですが、10分間で内容をきちんと発表するのは結構大変ですね。竹内さんの時もやっぱり大変でした?
> 10分間で内容をきちんと発表する<br>いやー、僕は10分間が余りそうで長く感じました。<br>いかに水増しするか工夫に工夫を。(笑)<br><br>先生方は鋭いところを突っ込んできますが、<br>愛と思って受け止めましょう。<br>また後日、論評を書いた小さい紙を受け取りますが、<br>しっかり読んだ方がいいですよ。
> > 10分間で内容をきちんと発表する<br>> いやー、僕は10分間が余りそうで長く感じました。<br>> いかに水増しするか工夫に工夫を。(笑)<br><br>うーん、それは意外。<br>私も自分のやった事に関する分量は結構物足りない(苦笑)んですが、背景や前提となる概念についてきちんと話し出すとキリがなく、その辺りをいかにコンパクトにまとめるかに苦慮してました。<br>分野によっても違うのかな。<br><br>> 先生方は鋭いところを突っ込んできますが、<br>> 愛と思って受け止めましょう。<br>> また後日、論評を書いた小さい紙を受け取りますが、<br>> しっかり読んだ方がいいですよ。<br><br>そうですね。了解です。