2009-01-20 [長年日記]
λ. 掛け算の順番と単位について 〜 3個 × 50円/個 ≠ 150円 ?
今の小学校の算数では「50円のリンゴが3つあったときの総額」は「50×3」であって「3×50」ではないと教えているらしく、「3×50」と書くと間違いにされるという話を聞いて驚く。 自分が小学校のころにどう教わったかはもう忘れてしまったけれど、実数の掛け算は可換ということに馴染んでしまった今となっては、なんだか非常に不思議な感覚だ。 しかも、1998年の黒木のなんでも掲示板(0018)なんかでも、この話が出ていて、結構昔からある話のようだ。
まあ、真面目に考えても仕方がない問題だとは思うのだけど、どう考えればこの掛け算の順序に理由付け出来るのか気になり、ちょっと考え込んでしまった。 それで思ったのは、単位の代数セオリーが通常のアーベル群*1ではなくただの群になっているのではないかということ。 アーベル群だと演算が可換なので、α,βを単位として α・β-1 と β-1・α の区別をする必要はなく、どちらも単に α/β と書くことが出来る。 一方、ただの群だと α/β := α・β-1 と β\α := β-1・α は等しいとは限らず、区別をする必要がある。
で、掛け算は数と単位に関してそれぞれ積になっているとすると、50 円/個 × 3 個 = 150 (円/個)個となり、単位は (円/個)個 = 円個-1個 = 円 となるが、一方 3 個 × 50 円/個 は 150 個円/個 となり、個円/個 = 個円個-1 が円と等しいことは群のセオリーからは言えない。 うん、個人的には割と納得できるな。ただ、これだと 個\円 のような変な単位が出てきてしまい、それを使った 3 個 × 50 個\円 = 150 個(個\円) = 150 円 のような計算も出来てしまうけどね。
*1 例えば、MKS単位系はメートル(m)、キログラム(kg)、秒(s)の三つの単位を生成元として生成される自由アーベル群。
むしろ、右からの作用がある加群と思った方が自然かも。
算数教育における、四則演算教授上の一貫性を維持するのが目的かな、とか思った。
1977年生まれが小学校の時ですが、長方形の面積は縦×横（逆だったか）とかいう「公式」を「正しくあてはめる」ことを要求された記憶があります。
＞yoshihiro503さん<br>なるほど。私は複数の単位の扱いなどちょっと一般的に考えすぎてましたが、作用を使う考え方の方が確かに単純で良いですね。実は群や環にあまり馴染みがないこともあって、作用もどういうときに使うのか分かってなかったのですが、こんな風に使えるんですね。<br><br>＞小熊さん<br>私もそれが理由なのではないかとは思います。<br><br>＞きしもとさん<br>面積の公式の縦横も同じくらい話題になる話みたいですね。
私もこのことに関してちょっとした激論が交わされてるのを見たことがあるんですが、そこで<br><br>＞小学校２年生の掛け算の文章題なんて、題意が全く理解できていなくても文章中の数字を掛け算すればいいことは想像つくし、計算自体も丸覚えした九九で正解できてしまう。習った通りの立式ができない子は、交換則に気づいているどころか掛け算という計算の意味自体をしっかり理解していない、つまりなぜこの問題は掛け算をすれば求める答えに至ることができるのかということを理解せずに、勘で答えている可能性がかなり高い。掛け算を逆にするのは間違いだとすることが数学的に正しいかと言うこととは別問題で、掛け算を教える初期段階で、こういう解答を正解にしてしまうことには大いに問題がある。少なくとも、分かっていてやっているのかそうでないのかは確かめる必要がある。 <br><br>という意見を見てなるほどな、と思ったことがあります。それまではかなり強硬に、順が「逆」でも正答とするべきだと思っていたのですが、今ではこういう採点のしかたが結果として生徒の理解度を向上させている可能性もあると思っています。<br><br>尤も長方形の面積に関しては順序を問わないのが正しいと思いますが。長方形は傾けたら面積が求められなくなるとかいうのは流石にやりすぎかと思うので（笑）
標準モデルさん、ありがとうございます。<br>その理由には確かに、なるほどなと思いました。<br>それにしても、教育というのは難しいものですね。