日々の流転

λ. topを追加する関手

topを追加する関手 F: Cppo→Cppo を考える。

F(X) = {P(x) | x∈X} ∪ {T}
       ∀x∈X. P(x)<T
F(f)(T) = T
F(f)(P(x)) = P(f(x))

この関手は非正格性を保存するが、自然変換 F→Id は存在しない。この関手の始代数は存在するだろうか?　以下の (X,φ) は F の始代数になっているだろうか?

X = {-∞ < … < -2 < -1 < 0}

φ : FX→X
φ(T) = 0
φ(P(x)) = x - 1

いや、ならないか。(Y,ψ)を以下のように定義する。

Y = {0 < 1}

ψ: FY→Y
ψ(T) = 1
ψ(P(x)) = x

h: (X,φ)→(Y,ψ) は -∞ を 0, 1 のどちらに写してもよいので、一意には決まらない。