2006-11-12 [長年日記]
λ. 第二十三回圏論勉強会
問題が結構難しい。
Exercise 3 (p.343):
直観的には明らかだけど、どう示せばよいのかな。
Exercise 4 (p.343):
![\xymatrix{ T \ar[d]_g \ar[rr] & & 1 \ar[d]^{\mbox{true}} \\ Y\times Y \ar[r]_s & Y\times Y \ar[r]_{\varphi_X} & \Omega }](tex/940c3aa700167e0cf8a12ed6dd2786da.png "\xymatrix{ T \ar[d]_g \ar[rr] & & 1 \ar[d]^{\mbox{true}} \\ Y\times Y \ar[r]_s & Y\times Y \ar[r]_{\varphi_X} & \Omega }")
を可換にする g: T→Y×Y が与えられたとき、φX が characteristic map であることから、ある h: T→X が存在して、
![\xymatrix{ T \ar[r]^h \ar[dr]_{s\circ g} & X \ar@{^{(}->}[d] \\ & Y\times Y }](tex/af5bdbbd4ad4a48d095a2b8214f42a82.png "\xymatrix{ T \ar[r]^h \ar[dr]_{s\circ g} & X \ar@{^{(}->}[d] \\ & Y\times Y }")
ここで、X→Y×Yはsymmetricなので、
![\xymatrix{ T \ar[r]^h \ar[d]_g & X \ar[r]^\sigma \ar@{^{(}->}[d] & X \ar@{^{(}->}[d] \\ Y\times Y \ar[r]^s \ar@/_1pc/[rr]_{1_{Y\times Y}} & Y\times Y \ar[r]^s & Y\times Y }](tex/a024a41563146d3a335bc69cb1359b5d.png "\xymatrix{ T \ar[r]^h \ar[d]_g & X \ar[r]^\sigma \ar@{^{(}->}[d] & X \ar@{^{(}->}[d] \\ Y\times Y \ar[r]^s \ar@/_1pc/[rr]_{1_{Y\times Y}} & Y\times Y \ar[r]^s & Y\times Y }")
![\xymatrix{ T \ar[r]^{\sigma \circ h} \ar[dr]_{g} & X \ar@{^{(}->}[d] \\ & Y\times Y }](tex/9b961fe1fe91e14d5a4888462c7327c0.png "\xymatrix{ T \ar[r]^{\sigma \circ h} \ar[dr]_{g} & X \ar@{^{(}->}[d] \\ & Y\times Y }")
となり、条件を満たす射 σ ∘ h が存在するので、φX ∘ s も X→Y×Y の characteristic map である。
characteristic map は一意なので φX = φX ∘ s。カリー化して、curry(φX) = curry(φX ∘ s) : Y→ΩY 。
お、何かいけてそう。<br>h:T→Xはinclusionじゃなくてもよいのでは？
あー、確かに。<br>テキストで「x:T→X is included in the part i:S⊆X」みたいに書かれている「included」は別にT→Sがinclusionになっていることを意味してはいないんですね……<br>修正しておきます。