日々の流転

λ. A note on inconsistencies caused by fixpoints in a cartesian closed category by H. Huwig and A. Poigné

以前に不動点と有限直和を持つCCCというエントリで「取り寄せるのが面倒」とか書いたが、SFCのメディアセンタにもちゃんとあった。そのエントリでは始対象と不動点を持つCCCは縮退しているということを書いたが、それだけでなくほかにも色々言っている。

• Let C be a cartesian closed category with fixpoints and an initial object. Then C is inconsistent.
• Let C be a cartesian closed category with fixpoints and coproducts. Then C is inconsistent.
• Let C be a cartesian closed category with fixpoints and with a NNO. Then C is inconsistent.
• Let C be a bicartesian closed category with and object D such that [D⇒2] is a retract of D. Then C is an order category with D ≅ 1.

inconsistentな圏というのは全てのオブジェクトが同型な圏。order category は、どのオブジェクトの間にも射が高々1つしか存在しない圏のこと。

Carl Gunter の profinite domains とSFPの話については後で調べる。

λ. コンマ圏と極限錘

図式 F: D→C の錘の圏は、F を 1→C^D の関手と考え、Δ:C→C^D を対角関手とすると、コンマ圏 (Δ↓F) になっている。この圏の終対象が極限錘。まあ当たり前の事実なんだけど、コンマ圏(comma category)って案外便利だなぁと思った。