ヒビルテ(2009-07-12)

2009-07-12 [長年日記]

λ. 第五十四回圏論勉強会

P. Selinger, “A survey of graphical languages for monoidal categories”の 5 Traced categories 付近かららしかったのだけど、前回欠席していたのと、前々回やったことをだいぶ忘れてしまっていたので、4.2 (Planar) pivotal categories を、4.1 (Planar) autonomous categories を読み返しながらやった。

Pivotal category の定義中で使われている (A⊗B)** ≅ A**⊗B** をどうやって導くのか分からず困った。 (A⊗B)* ≅ B*⊗A* を証明して、(A⊗B)** ≅ (B*⊗A*)* ≅ A**⊗B** とすれば良い。 (A⊗B)* ≅ B*⊗A* は

η_B;(B*⊗η_A⊗B) : I → B*⊗A*⊗A⊗B と
(A⊗ε_B⊗A*);ε_A : A⊗B⊗B*⊗A* → I

とが、exact pairing になっているので、right dual の一意性から言える。

一意性の話は、4.1 (Planar) autonomous categories の Remark 4.1 にある。 (B, h : I→B⊗A, e : A⊗B→I) と (C, h' : I→C⊗A, e' : A⊗C→I) が共にAの right dual の条件を満たすとすると、 $\xymatrix{B \ar[r]^-{h' \otimes \mathrm{id}_B} & C\otimes A\otimes B \ar[r]^-{\mathrm{id}_C \otimes e} & C}$ と $\xymatrix{C \ar[r]^-{h \otimes \mathrm{id}_C} & B\otimes A\otimes C \ar[r]^-{\mathrm{id}_B \otimes e'} & B}$ が逆になっているので、BとCは同型になる。逆になっていることを証明するには、まず片方は
$\xymatrix@-10pt{ B \ar@{-}[r] & B \ar@{-}@(r,r)[d]^{e} \\ & A \ar@{-}@(l,l)[d]_{h'} \\ & C \ar@{-}[rr] & & C \ar@{-}@(r,r)[d]^{e'} \\ & & & A \ar@{-}@(l,l)[d]_{h} \\ & & & B \ar@{-}[r] & B \\ }$
を
$\xymatrix@-10pt{ B \ar@{-}[rrr] & & & B \ar@{-}@(r,r)[d]^{e} \\ & & A \ar@{-}@(l,l)[d]_{h'} \ar@{-}[r] & A \\ & & C \ar@{-}@(r,r)[d]^{e'} \\ & A \ar@{-}@(l,l)[d]_{h} \ar@{-}[r] & A \\ & B \ar@{-}[rrr] & & & B \ }$
に変形して、h'とe'、hとeをキャンセルすればよい。もう片方も同じ。