日々の流転

λ. メモ: 『層・圏・トポス』第一章「層」

(後でちょっとづつ書く)

p.13 Xを空でないとしているのは何故?

p.14 前層の第一の定義 ⇒ 第二の定義

1. Ef=Eg=∅ ⇒ f = f⌉Ef = f⌉∅ = g⌉∅ = g⌉Eg = g
2. r_UU(f) = f⌉U = f⌉Ef = f
3. (r_UV∘r_VW)(f) = f⌉V⌉U = f⌉(V∩U) = f⌉U = r_UW(f) (U⊆V より V∩U=U)

p.15 前層の第二の定義 ⇒ 第一の定義

• (0) a∈FU, b∈FV とすると、a⌉∅=r_∅U(a)∈F(∅) かつ b⌉∅=r_∅V(b)∈F(∅) で、F∅は一点集合なので a=b
• (1) a∈FW とすると a⌉Ea = a⌉W = r_WW(a) = a
• (2) a∈FW とすると E(a⌉U) = E(r_(W∩U),W(a)) = W∩U = Ea∩U
• (3) a∈FW とすると a⌉U⌉V = (r_{(U∩W)∩V,U∩W}∘r_U∩W,W)(a) = r_{(U∩V)∩W,W})(a) = a⌉(U∩V)