日々の流転

λ. QMLでの観測のSuperoperatorによる解釈

以下のような二つの関数を考える。

• Qid (b,qb) |- b :: qb
• Meas (b,qb) |- if b then qtrue else qfalse :: qb

前者は観測を伴わない恒等関数で、後者は観測を伴う関数。 この二つの関数を superoperator で解釈してみる。

QML> runS "test2.qml" "Qid"
OK 
Super-op input = 1,
Super-op output = 1,
([True,True],[True,True],1.0 :+ 0.0)
([True,False],[True,False],1.0 :+ 0.0)
([False,True],[False,True],1.0 :+ 0.0)
([False,False],[False,False],1.0 :+ 0.0)
QML> runS "test2.qml" "Meas"
OK 
Super-op input = 1,
Super-op output = 1,
([True,True],[True,True],1.0 :+ 0.0)
([False,False],[False,False],1.0 :+ 0.0)
QML> 

ちゃんと違う結果になっている。

ついでに、例として、|φ〉 = (1/√2)(|0〉 + |1〉) に対応する密度行列 |φ〉〈φ| = (1/2)(|0〉〈0| + |0〉〈1| + |1〉〈0| + |1〉〈1|) にこれらの関数を適用してみると、Qidを適用した結果はこのままである一方、Measを適用した結果は Meas(|φ〉〈φ|) = (1/2)(|0〉〈0| + |1〉〈1|) になる。

というわけで、第四十四回圏論勉強会 - ヒビルテ (2008-09-14) で「観測の効果については(密度行列に対する)superoperatorを射とする圏にすればちゃんと圏の中で扱えるはず」と書いたが、たしかに観測による効果(の少なくとも一部)については圏の内部で扱えているようだ。