日々の流転

λ. Amazonクレジットカード終了

Amazon^®クレジットカード サービス終了のご案内

まじですかー。 20070503#p03に作ってからまだ一年半もたってないのに……。 これまでAmazonクレジットカードをメインで使っていたので、どこに乗り換えたらよいか悩む。

λ. 内積と随伴に関する性質いくつか

量子情報以前に、線形代数の基礎と格闘中。

x = y ⇔ ∀z. 〈x,z〉=〈y,z〉 ⇔ ∀z. 〈z,x〉=〈z,y〉

x = y ⇒ ∀z. 〈x,z〉=〈y,z〉 と x = y ⇒ ∀z. 〈z,x〉=〈z,y〉 は明らか。

一方 x≠y とすると、z = x - y ≠ 0 とおいて、

• 〈x,z〉 - 〈y,z〉 = 〈x-y,z〉 = 〈z,z〉 > 0
• 〈z,x〉 - 〈z,y〉 = 〈z,x-y〉 = 〈z,z〉 > 0

なので、〈x,z〉 ≠ 〈y,z〉 かつ 〈z,x〉 ≠ 〈z,y〉 。

これは、米田埋め込み(Yoneda embedding)についての性質 A≅B ⇔ hom(A,-)≅hom(B,-) ⇔ hom(-,A)≅hom(-,B) にちょっと似ているな。

随伴 A^† の一意性

B,Cが共にAの随伴だとすると、任意の x, y について 〈Bx,y〉=〈x,Ay〉=〈Cx,y〉なので B = C 。よって、随伴 A^† は存在すれば一意。

A^††=A

〈Ax,y〉 = 〈y,Ax〉^* = 〈A^†y,x〉^* = 〈x,A^†y〉 より、A^††=A

(AB)^† = B^†A^†

〈x,ABy〉 = 〈A^†x,By〉 = 〈B^†A^†x, y〉 より、(AB)^† = B^†A^†