R(5,5)≤48 https://arxiv.org/abs/1703.08768 ラムゼー数R(5,5)の上界の更新。計算的な側面と巧妙な証明の側面の両方があって面白い。
ただ、 F ∈ R(5, 5, 48) を仮定したときの各頂点の次数は23か24と言っているけれど、23の場合は簡単に除外できて証明が少し単純になりそうな……
ある頂点vの次数が23だと、R(5, 4) = R(4, 5) = 25 なので、vから辺のない25頂点のサブグラフのなかに「サイズ5のクリーク」もしくは「サイズ4の独立集合」が存在。「サイズ5のクリーク」が存在する場合はもちろん F ∈ R(5, 5, 48) に矛盾するし、「サイズ4の独立集合」が存在する場合には、vからはその全てに対して辺が存在しないので、サイズ5の独立集合が存在してしまって、F ∈ R(5, 5, 48) に矛盾。
あと、Kの頂点数dが 0 ≤ d ≤ 5 の範囲ときを何故考えなくて良いのか、よくわからなかった……