向井研発表3 〜 圏論への誘い (その3)

特別な名前のついている射

endomap

domainとcodomainが同じ射。e: A→A

idempotent

ee = 1_A となるような endomap e

automorphism

endomapかつisomorphismであるような射

involution

自分自身がinverseである、すなわち f = f^-1 であるような射 f

これらの関係

          ⊃ automorphisms ⊃ involutions ⊃ 
endomaps                                      identities
              ⊃     idempotents      ⊃

General division problems: Determination and Choice

Lawvereのp.45。数での掛け算に対しての割り算に相当するものを、射の結合についても考えてやる。

The 'determination' (or 'extension') problem

下図で、fとhが与えられたとして、h=gfとなるような全てのgは何か?

    f
┌──→ B
│      │g?
│  h   ↓
A ──→ C

The 'choice' (or 'lifting') problem

下図で、gとhが与えられたとして、h=gfとなるような全てのfは何か?

    f?
┌──→ B
│      │g
│  h   ↓
A ──→ C

determination problem, choice problem と section/retracdtion/idempotent の関係

別紙参照。