向井研発表1 ～圏論への誘い

アブストラクト

＜タイトル ＞
圏論への誘い

＜発表者＞
酒井政裕

＜所属＞
総合政策学部2年

＜要旨＞
近年、圏論的な考え方はますます重要性を増しているが、
数学の他の領域に比べて馴染みが薄いと言わざるを得ない。
今回の発表では、圏の定義を示すと共に、
集合の圏を例としてsection,retraction,inverse,idempotent等の
射の簡単な性質をどのように使う事が出来るかを説明し、
圏論的な考え方に馴染んでもらう。

カテゴリとは何か?

おおざっぱに言うと、数学的な対象(オブジェクト)の集まりと、その間の射(morphism)の集まりからなる概念。以下の定義を満たす必要がある。

定義

射の合成が定義されて、結合法則を満たす。
```
f: A→B
g: B→C
h: C→D
h・(g・f) = (h・g)・f
```
任意のオブジェクトに対して、自身への恒等射(identity morphism)が存在する
f: A→B
1_A: A→A
1_B: B→B
1_B・f = f・1_A = f
異なるペアのオブジェクトの間には同じ射は存在しない。

カテゴリの例

カテゴリの構造は様々な領域に現れる。カテゴリ論はそれらを統一的に扱う手段を提供する。

集合の圏 (Set): 集合がオブジェクト、集合間の写像が射、射の合成は写像としての合成
位相空間の圏: 位相空間がオブジェクト、連続写像が射、射の合成は写像としての合成
群の圏: 群がオブジェクト、群の準同型射が射、射の合成は写像としての合成
アーベル群の圏: アーベル群がオブジェクト、群の準同型射が射、射の合成は写像としての合成
環の圏: 環がオブジェクト、環の準同型射が射、射の合成は写像としての合成
R加群の圏: R加群がオブジェクト、R準同型射が射、射の合成は写像としての合成
グラフの圏: グラフがオブジェクト、グラフ準同型射が射。

etc...

以下では主に集合の圏を取り上げる。

集合の圏

集合がオブジェクト、集合間の写像が射、射の合成は写像としての合成。

External diagram と Internal diagram

図

Isomorphism

isomorphismとは?

ある f: X→Y に対して、 f・g = 1_Y かつ g・f = 1_X となるような g: Y→X が存在する場合、XとYは同型(isomorphic)だといい、「X =~ Y」と書く。 (本当は、「=」の上に「～」を重ねた記号だが、この記号はJISには無いのでここでは「=~」で代用する)
また、そのような射fをisomorphismあるいはinversible mapと呼ぶ。gをfのinverseと呼び f^-1 と書く。

同型とは、おおざっぱに言って、オブジェクトが同じ構造を持っている事。集合の圏では、単に要素数/濃度が同じである事になるが、他の圏のオブジェクトはより複雑な構造を保存する。

同型はカテゴリ論で最も重要なオブジェクト間の関係である。

inverseのuniquenessの証明

g: B→A, k: B→A が共に f: A→B のinverse だとすると、
g = g・1_B = g・(f・k) = (g・f)・k = 1_A・k = k

同型が同値関係であることの証明

反射律: A =~ A を証明する。
1_A: A→A について、1_A・1_A = 1_A より、1_Aは1_Aのinverse
∴A =~ A
対称律: A=~B → B=~A を証明する。
A=~B より f: A→B にinverse f^-1: B→A が存在する。 f・f^-1 = 1_B と f^-1・f = 1_A より、 fはf^-1のinverse。
∴ B=~A
推移律: A=~B, B=~C → A=~C を証明する。
それぞれのisomorphismを f: A→B, g: B→C と置く。
(f^-1g^-1)(gf) = f^-1f = 1_A
また、(gf)(f^-1g^-1) = g・g^-1 = 1_C
よって、f^-1g^-1: C→A は gf: A→C のinverse
∴ A=~C

section, retraciton, idempotent

f: A→B とする。

section: f・s = 1_B を満たす s: B→A をfのsectionと呼ぶ
retraction: r・f = 1_A を満たす r: B→A をfのretractionと呼ぶ
inverse: fのsectionかつretractionであるような射をfのinverseと呼び、f^-1と書く
idempotent: f・f = f であるような射 f: A→A をidempotentと呼ぶ

クイズ

A = {a,b}, B = {x,y,z} とする。集合の圏で、

f = {a→x, b→y} であるような f: A→B のretractionは幾つ?
g = {x→a, y→b, z→b} であるような g: B→A のsectionは幾つ?
B上のidempotentはどんな写像?

Universal Mapping Property の例

Terminal Object

すべてのオブジェクトからの射がユニークに存在するオブジェクト。通常「1」と書かれる。集合の圏ならば Singleton Set が Terminal Object になる。

このように「すべての～なオブジェクトに関して、～のような射が存在する」というような形で定義される性質を Universal Mapping Property と呼ぶ。

Terminal Object の Uniqueness

Termianl Object が複数存在するならば同型である事を証明する。

AとBが共に Terminal Object だとする。すると、AがTerminal Objectであることから射 f: B→A がユニークに存在する。同様に、Bが Terminal Object であることから、射 g: A→B がユニークに存在する。合成して、fg: A→A, gf: B→B が得られる。

AがTerminal Objectであることから、fgはA→Aのユニークな射である。圏の定義から1_A: A→A が存在しなければならないので、fg = 1_A
同様に、gf = 1_B

∴ A=~B

他の Universal Mapping Property の例

initial object: terminal object の定義の射の向きを反転したもので定義される。すべてのオブジェクトへ射がユニークに存在するオブジェクト。通常「0」と書かれる。集合の圏ならば、空集合がこれにあたる。
product: PがAとBのProductであるとは以下のようにして定義される。
projection map p₁: P→A と p₂: P→B が定義されて、任意のオブジェクトXと、XからAへの射f₁とBへの射f₂について、 f₁ = p₁・f, f₂ = p₂・f となるような射 f: X→P がユニークに定まる。
このようなオブジェクトPをA×Bと書き、このような射fを<f₁, f₂> と書く。
集合の圏では直積の事。
coproduct: sumとも呼ばれる。productの定義の射の向きを反転したもので定義される。集合の圏では直和の事。

向井研発表1 ～ 圏論への誘い